На пути к решению новогодней задачи

Предыдущая страница

Мы познакомились со свойствами волшебных квадратов с нечетным количеством клеток. Рассмотрели и способы их составления. К сожалению, способы эти не помогут нам раскрыть секрет новогодней головоломки, которую принес Володя Колчин.

В основе его задачи лежит волшебный квадрат четного порядка, а квадраты с четным количеством клеток обладают несколько иными свойствами, нежели их нечетные собратья.

Для примера разберем 16-клеточный квадрат. Он подведет нас вплотную к решению новогодней задачи. Этот квадрат обладает столь удивительными свойствами, что стоит завести с ним знакомство покороче.

Начнем с того, что нарежем из бумаги шестнадцать квадратиков и напишем на них числа от 1 до 16. Уложим квадратики по четыре в ряд, сохраняя последовательность чисел.

Делаем первую перестановку чисел: второй и третий горизонтальные ряды меняем местами.

Вторая перестановка: во втором и четвертом горизонтальных рядах числа ставим в обратном порядке.

Третья перестановка: во втором и третьем вертикальных рядах числа ставим в обратном порядке.

Четвертая перестановка: в третьем и четвертом горизонтальных рядах числа ставим в обратном порядке.

Получившийся волшебный квадрат обладает всеми свойствами, о которых говорится в новогодней задаче. Их даже больше. В самом деле, константа этого квадрата (34) повторяется в суммах чисел не шестнадцать, а двадцать два раза!

Мы находим ее: в четырех горизонталях, в четырех вертикалях, в двух больших диагоналях, в пяти 4-клеточных квадратах внутри фигуры, по углам четырех 9-клеточных квадратов, по углам двух прямоугольников длиной в четыре и шириной в две клетки и, наконец, по четырем углам всей фигуры.

Но если свойства этих квадратов одинаковы, то подойдет и рассмотренный способ решения.

Нам понадобится еще шестнадцать бумажных квадратиков; на них напишем трехзначные числа новогодней задачи. Укладываем их в 16-клеточный квадрат, размещая числа в порядке возрастания величин: начиная с 416 и кончая 566.

(Хотя здесь у нас и не порядковые числа, они тем не менее представляют собой строго последовательный ряд, так как разница между числами всюду одинакова — 10. Следовательно, этот ряд чисел вполне отвечает требованиям волшебного квадрата.)

Затем совершаем те же перестановки и в той же последовательности, как показано на рисунке. И вот решение новогодней задачи: константа волшебного квадрата — 1964.

Далее

Содержание