Еще один способ

Предыдущая страница

Составленная нами таблица со схемой размещения чисел в клетках квадрата удобна, когда этих чисел всего только девять. Но волшебные квадраты могут быть разной величины — на 16, 25, 36, 49, 64 клетки, могут быть и больше. Когда приходится иметь дело с большйм количеством чисел, то такая таблица вряд ли поможет — она оказалась бы слишком громоздкой. В этих случаях проще прибегнуть к другому способу, пользуясь которым можно построить любой квадрат с нечетным количеством клеток. (О волшебных квадратах с четным количеством клеток разговор будет особый.)

На рисунке к 25-клеточному квадрату подрисованы со всех сторон еще по четыре симметрично расположенных клетки. Так как клетки эти лежат за пределами квадрата и выполняют подсобную службу, на чертеже они выделены пунктиром.

Понадобились они вот для чего. В образовавшуюся вместе с дополнительными клетками фигуру, начиная с самой верхней клетки, мы будем вписывать по порядку все заданные числа от 1 до 25, но не по горизонталям, как это обычно делается, а по косым рядам: сверху — вниз — направо. Косые ряды с числами должны чередоваться при этом с косыми рядами из пустых клеток, как это показано на рисунке.

Закончив первый этап построения волшебного квадрата, переходим к следующему.

Числа, попавшие в пунктирную надстройку, надо перенести внутрь квадрата на незанятые места. Делать это будем так: каждое верхнее число (1, 6, 2), переносится вдоль своей вертикали на пятую клетку вниз; каждое нижнее число (24, 20, 25), тоже вдоль своей вертикали, переносится на пятую клетку вверх; каждое число слева (21, 16, 22) переносится вдоль своей горизонтали на пятую клетку вправо; каждое число справа (4, 10, 5) переносится вдоль своей горизонтали на пятую клетку влево.

После такой перестановки все числа окажутся на своих местах и квадрат будет обладать всеми свойствами, присущими волшебному квадрату: сумма пяти чисел во всех горизонтальных, вертикальных и диагонально расположенных рядах будет одна и та же.

Какое это будет число, мы можем сказать заранее, не пересчитывая клеточные ряды. Для этого нам достаточно 13 (среднее число; оно, как ему и положено, находится в центре фигуры) умножить на 5 — количество клеток на стороне квадрата; произведение (65) даст нам константу волшебного квадрата с числами 1—25.

Это, конечно, не случайность. Вспомним, как обстояло дело с 9-клеточным квадратом; чтобы определить его константу, мы среднее число умножили на три. Так и должно быть, когда на сторонах квадрата всего по три клетки. Ну, а если бы это был 49-клеточный квадрат и, следовательно, на сторонах его было бы по семи клеток? Тогда, чтобы узнать константу такого волшебного квадрата, мы умножили бы его среднее число на 7.

Это общее правило для всех волшебных квадратов с нечетным количеством клеток.

И еще одно правило.

Есть еще одно общее для них правило.

Составляя волшебный квадрат на двадцать пять клеток, мы каждое число, находящееся за пределами квадрата, переносили вдоль ряда всегда на пятую клетку вверх или вниз, вправо или влево.

Это обусловлено свойствами волшебного квадрата с пятью клетками в ряду. Если бы мы тем же способом размещали числа в квадрате с семью клетками в ряду, то переносили бы каждое число из «надстройки» на седьмую клетку вдоль ряда.

Само собой разумеется, что для квадрата с большим количеством клеток и «надстройка» понадобится более обширная.

Далее

Содержание