Задача глубокой древности

Предыдущая страница

Волшебный квадрат — одна из самых ранних головоломок в истории культуры. Несколько тысячелетий назад обитателям древнего Китая уже были известны поразительные свойства 9-клеточного квадрата с числами от 1 до 9.

В современной цифровой записи эта головоломка и ее решение показаны на рисунке.

В задаче (а) числа расположены в порядке возрастания. Нужно переставить их в клетках фигуры таким образом, чтобы сумма трех чисел во всех горизонтальных и вертикальных рядах, а также по обеим диагоналям была одна и та же, то есть была числом постоянным. (Такое число мы будем называть константой волшебного квадрата.)

Как видно из решения задачи (б), константой для волшебного квадрата с числами от 1 до 9 будет число 15.

Посмотрим, как оно получилось. Напишем все заданные числа в один ряд:

Среднее число в ряду — 5. Устанавливаем: если справа и слева от него брать числа попарно, то окажется, что любая составленная таким путем пара чисел в сумме составит число, которое будет вдвое больше среднего:

1—2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9.

4 + 6 = 10; 3 + 7=10 и т. д.

Это и есть ключ к решению задачи: квадрат станет волшебным, если среднее число поставить в центре фигуры, а попарно взятые числа разместить по обе стороны от него в противоположных клетках. На рисунке числа именно так и расположены:

1+5 + 9=15; 2 + 5 + 8=15; 3 + 5 + 7=15; 4 + 5 + 6=15.

Тут все ясно. А вот почему в остальных рядах квадрата, где нет ни пятерки, ни попарно взятых чисел, получается та же сумма — это людям далекого прошлого казалось необъяснимой загадкой, волшебством. Головоломке приписывались магические свойства.

9-клеточный волшебный квадрат можно построить с любым рядом последовательных чисел. Например:

22—23—24—25—26—27—28—29—30.

Среднее число в этом ряду — 26. Попарно взятые справа и слева от него числа дают в сумме 52, то есть удвоенное среднее число. Но если так, то и схема размещения чисел этого ряда в клетках волшебного квадрата должна быть та же, что и в разобранном нами примере с числами 1—9.

Примем числа 1 — 9 за порядковые номера и обозначим их римскими цифрами, чтобы не путать с задачами. У нас получилась таблица, которой мы можем теперь пользоваться как схемой построения любого 9-клеточного волшебного квадрата.

Дело пойдет очень быстро. В клетку / вписываем первое число заданного ряда — 22; в клетку II помещаем второе число — 23 и т. д. В клетку V попадет среднее число — 26, а в клетку IX — число 30, последнее в ряду. На рисунке, справа, волшебный квадрат собран: сумма трех чисел во всех горизонтальных, вертикальных и диагональных рядах одна и та же — 78.

Запомним: какой бы ряд последовательных чисел ни вписывался в 9-клеточный волшебный квадрат, его константа всегда будет равна утроенному среднему числу (5X3=15; 26X3 = 78).

Отметим еще одну особенность этого волшебного квадрата: на одной из его больших диагоналей три числа (IV, V, VI) всегда расположены подряд (4, 5, 6; 25, 26, 27).

Далее

Содержание